Imaginá un juego: se lanza una moneda repetidamente hasta que sale cara por primera vez. Si sale en el primer lanzamiento, ganás 2 unidades. Si sale recién en el segundo, ganás 4. Si sale en el tercero, 8. Y así, duplicando el premio cada vez que la racha de "cecas" se extiende un lanzamiento más. Calculado matemáticamente, el premio promedio que se puede esperar de este juego es infinito. Y sin embargo, casi nadie pagaría más que unas pocas unidades por participar. A esto se lo conoce como la paradoja de San Petersburgo.
El origen: dos primos y un problema sin resolver
El problema fue planteado por primera vez por el matemático Nicolas Bernoulli en una carta de 1713. Durante más de dos décadas circuló como una curiosidad matemática sin explicación satisfactoria, hasta que su primo, Daniel Bernoulli, publicó en 1738 un artículo —escrito en latín para la Academia Imperial de Ciencias de San Petersburgo, de ahí el nombre de la paradoja— que proponía una solución.
La idea central: la utilidad no crece al mismo ritmo que el dinero
Bernoulli argumentó que las personas no valoran el dinero de forma lineal, sino según la utilidad —la satisfacción o el beneficio subjetivo— que ese dinero les reporta. Y esa utilidad crece cada vez más lento a medida que una persona ya tiene más riqueza: la primera moneda que se gana vale mucho más, en términos de bienestar, que la moneda número diez mil. Este principio se conoce como utilidad marginal decreciente.
Aplicado al juego de San Petersburgo, esto significa que, aunque el premio esperado en dinero sea infinito, la utilidad esperada del juego es finita, porque los premios extremadamente grandes (que ocurren con probabilidad extremadamente pequeña) aportan cada vez menos utilidad adicional. Por eso una persona racional, según este modelo, solo estaría dispuesta a pagar una cantidad moderada por jugar, no una fortuna.
Por qué esta idea fue tan influyente
La propuesta de Bernoulli es considerada uno de los primeros antecedentes de lo que más tarde, en el siglo XX, se formalizaría como la teoría de la utilidad esperada, desarrollada de manera axiomática por John von Neumann y Oskar Morgenstern en su libro Theory of Games and Economic Behavior (1944). Esa teoría se convirtió en la herramienta estándar para modelar cómo "debería" decidir un agente racional bajo riesgo, y sigue siendo un punto de referencia —y de debate— en la teoría de la decisión contemporánea.
Una precisión importante
Este artículo describe un desarrollo histórico de las matemáticas y la economía, con fines educativos. No constituye una recomendación sobre juegos de azar, apuestas ni productos financieros, y Mareonsi no está afiliado a ninguna casa de apuestas, banco o entidad financiera.
Fuentes consultadas
- Bernoulli, D. (1738). "Specimen Theoriae Novae de Mensura Sortis". Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae. Traducido al inglés por Louise Sommer (1954) en Econometrica, 22(1), 23–36.
- von Neumann, J., & Morgenstern, O. (1944). Theory of Games and Economic Behavior. Princeton University Press.
- Jorland, G. (1987). "The Saint Petersburg Paradox 1713–1937". En Krüger, L. et al. (eds.), The Probabilistic Revolution, Vol. 1. MIT Press.